Vektor disimbulkan dengan v dan digambar dengan anak panah. Panjang anak panah menyatakan besar vektor sedangkan arah panah menyatakan arah vektor.
1. Penjumlahan Vektor
Dua buah vektor atau lebih dapat dijumlahkan apabila vektor-vektor tersebut bekerja pada sebuah benda. Vektor-vektor ini dikatakan memiliki titik tangkap yang sama. Vektor A dan B bekerja pada sebuah gaya
a. Grafis
Penjumlahan dengan metode jajaran genjang sebagai berikut.
Penjumlahan vektor A+B = R, dilakukan dengan cara:
1. Menggambar dua gaya dengan titik tangkap berimpit.
2. Menggambar jajaran genjang.
3. Menggambar vektor resultan.
1. Menggambar dua gaya dengan titik tangkap berimpit.
2. Menggambar jajaran genjang.
3. Menggambar vektor resultan.
Pengurangan dengan metode jajaran
Pengurangan A-B = A+(-B) = R, dilakukan dengan cara:
1. Menggambar dua gaya dengan titik tangkap berimpit.
2. Mengambar vektor -B.
3. Menggambar jajaran genjang
4. menggambar vektor resultan.
1. Menggambar dua gaya dengan titik tangkap berimpit.
2. Mengambar vektor -B.
3. Menggambar jajaran genjang
4. menggambar vektor resultan.
A + B = ...
A - ... = H
... - B = F
A - G = ...
B + C = D - ...
D + ... = G - A
D - G = ...
b. Rumus cosinus
Penjumlahan A+B = R dapat dianalisa secara geometri sebagai
berikut.
Dari segitiga
siku-siku di atas diperoleh hubungan:
R2 = 0P2 + RP2
R2 = ( A + AP ) 2 +
PR 2
R2 = ( A + B Cos θ )
2 + ( B Sin θ ) 2
R2 = ( A2 + 2 . A . B
Cos θ + B2 Cos 2 θ) + ( B 2 Sin 2θ)
R2 = A2 + 2 . A . B Cos
θ + B2 Cos 2 θ + B2 Sin 2 θ
R2 = A2 + 2 . A . B
Cos θ + B2 (Cos 2θ + Sin 2 θ )
R2 = A2 + 2 . A . B
Cos θ + B2
R2 = A2 + B2 + 2 . A.
B Cos θ
jadi :
Arah sudut R
ditentukan dengan:
dengan :
θ = sudut kedua
vektor yang dijumlahkan
α = arah R terhadap horizontal
Contoh
Dua buah vektor A dan
B membentuk sudut 60°. Vektor A besarnya 8 satuan searah sumbu x. Sedangkan
vektor B besarnya 4 satuan. Tentukanlah besar resultan vektor tersebut dan
arahnya terhadap vektor A
Jawab:
Besar resultan R
adalah:
R2 = A2 + B2 + 2 AB
Cos q
R2 = 82 + 42 + 2 .8 .
4 Cos 60°
R2 = 64 + 36 + 32
R2 = 132
R = 11,48.
Arah R adalah:
α = sin-1 {( B / R )
Sin θ }
α = sin-1 {( 4 /
11,48 ) Sin 60° }
α = sin-1 0,30
α = 17,560
Dua buah vektor A dan B membentuk sudut 90°. Vektor A
besarnya 3 satuan searah sumbu x. Sedangkan vektor B besarnya 4 satuan.
Tentukanlah besar resultan vektor tersebut dan arahnya terhadap vektor A !
Jawab
Besar resultan adalah
:
R2 = A2 +
B2 + 2 AB Cos θ
R2 = 2 + 2 + … x … x
... Cos … °
R2 = … +… +
24. …
R2 = …
R = …
Arah resultan adalah
:
α = sin-1
{( B / R ) Sin θ }
α = sin-1
{( … / … ) Sin …
° }
α = sin-1
( … / …
)
α = sin-1 …
α = 11,530
Ujilah
1. Tentukanlah resultan dua buah vektor A dan B apabila
keduanya membentuk sudut:
a. 00
b. 900
c. 1800
Jawab
a. R = A+B
b. R2=A2+B2
c. R = A-B
2. Tentukanlah
resultan dua buah vektor yang besarnya sama dan saling tegak lurus.
Jawab
R2= … 2+ … 2
R2= … 2
R= …
3. Tentukanlah
resultan maksimum dan minimum dari A=10 satuan dan B=4 Satuan.
jawab
R maksimum = … + … = … + … = … satuan.
R minimum = … - … = … - … = … satuan
c. Analisis
Vektor Komponen
Vektor Komponen
Sebuah vektor, dalam bidang datar XY (koordianat kartesius)
dapat diuraikan menjadi dua vektor komponen. Kedua vektor komponen itu adalah vx
dan vy. Vx adalah vektor komponen yang sejajar sumbu X
dan vy adalah vektor komponen yang sejajar sumbu Y.
Gambar di kiri, vektor V diuraikan menjadi Vx dan Vy
Vx = V cos α
Vy = V sin
α
Contoh
Sebuah vektor besar 10 satuan membentuk sudut 600 terhadap horisontal tentukanlah vektor komponennya?
jawab.
Vx = V cos α = 10 cos 600 = 10. 1/2 = 5 satuan.
Vy = V sin α = 10 sin 600= 10. 1/2.√3 = 5√3 sat
Vy = V sin α = 10 sin 600= 10. 1/2.√3 = 5√3 sat
Cobalah
1. Sebuah vektor
besarnya 8 satuan membentuk sudut 300 terhadap horisontal tentukanlah vektor
komponennya?
jawab.
Vx = V cos α = … cos 0
= … x … / … = …
stuan.
Vy = V sin α = … sin 0=
… x ... / … = …
satuan
2. Sebuah vektor besarnya 6 satuan dan membentuk sudut 900
terhadap horisontal. Tentukanlah besarnya vektor komponennya.
a. Vx = … satuan
b. Vy = … satuan
Metode Analisis
Menjumlahkan tiga buah vektor atau lebih akan lebih efektif
menggunakan metode analisis ini. Metode ini meliputi langkah sebagai berikut.
a. Semua diuraikan
menjadi vektor komponennya (Vx dan Vy).
b. semua komponen
yang searah sumbu X dijumlahkan sebagai ∑Vx
c. semau komponen
yang sejajar sumbu Y dijumlahkan sebagai ∑Vy
d. Resultannya adalah
R2=(∑Vx)2+(∑Vy)2
Contoh
Sebuah benda ditarik 3 buah gaya. Gaya adalah besaran
vektor. Gaya A sebesar 10 N membentuk sudut 30° terhadap A, gaya B sebesar 8 N
tegak lurus terhadap sumbu x, sedang gaya C sebesar 12 N membentuk sudut 210°
terhadap sumbu x positif. Tentukanlah resultan ketiga gaya tersebut !.
Jawab
Ketiga gaya diuraikan
menjadi komponen X dan Y sebagai berikut.
Vektor
|
Komponen X
|
Komponen Y
|
A
|
Ax = A Cos 600
= 10 . 1/2
= 5
|
Ay = 10 sin 600
= 10 . ½ √3
= 8,7
|
B
|
Bx = B cos 900
= 0
|
By = B sin 900
= 8. 1
= 8
|
C
|
Cx = - C cos 30
= - 12. ½√3
= - 10,4
|
Cy = - C sin 30
= - 12. ½
= - 6
|
jumlah
|
Σ Rx = -5,4
|
Σ Ry = 10,7
|
Besar resultan gaya adalah:
R 2 = Σ Fx
2 + Σ Fy2
R 2 = 5,4
2 + 10,7 2
R = 11,98 N
Arah resultan gaya
adalah
tg θ = Σ Ry / Σ Rx
tg θ = 10,7 / 5,4 =
1,98
θ = 10,5 °
Vektor
|
Komponen X
|
Komponen Y
|
A
|
Ax = A Cos … 0
= … x …
= …
|
Ay = A sin .. 0
= … x…
= …
|
B
|
Bx = B cos 1800
= _ ._ (_)
=__
|
By = B sin _ 0
= _ . _
=__
|
C
|
Cx = C cos _ 0
= _ . _
= __
|
Cy = - C sin _ 0
= _ . _
√ _
=__
|
jumlah
|
Σ Rx =
|
Σ Ry =
|
Besar resultan gaya adalah:
R 2 = Σ_ 2 + Σ_ 2
R 2 = ( _
)2 + _ 2
R = 12,3 N
Arah resultan gaya
adalah :
tg θ = Σ _ / Σ _
= _ / _ =
__
θ = 60 °
2. tentukanlah resultan dari keempat gaya A, B, C dan D berikut ini.
Jawab:
Vektor
|
Komponen X
|
Komponen Y
|
A
|
Ax =
|
Ay =
|
B
|
Bx =
|
By =
|
C
|
Cx =
|
Cy =
|
D
|
Dx =
|
Dy =
|
jumlah
|
Σ Rx =
|
Σ Ry =
|
Besar resultan gaya adalah:
R 2 = Σ _ 2
+ Σ _ 2
R 2 = _ 2
+ _ 2
R = _ N
